Con esta calculadora podrás realizar sumas, restas o multiplicaciones de matrices, así como calcular el determinante de una matriz. Para realizar los cálculos necesarios, debes presionar consecutivamente los botones indicados debajo del ejemplo en la sección correspondiente.
La transposición de una matriz se puede realizar fácilmente incluso sin calculadora, simplemente siguiendo las instrucciones detalladas.
Qué es una matriz en matemáticas
Una matriz es una tabla rectangular de elementos (números, símbolos o expresiones), que consta de $m$ filas y $n$ columnas. Cada elemento de la matriz se encuentra en la intersección de una fila y una columna determinadas.
Una matriz suele denotarse con una letra mayúscula, por ejemplo, $A$. Los elementos individuales de la matriz se denotan con índices, por ejemplo, $a_{12}$ es el elemento ubicado en la primera fila y segunda columna.
$$A = \begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn}\end{bmatrix}$$
El tamaño de una matriz se denota como $m \times n$. Por ejemplo, una matriz de tamaño $3 \times 4$ tendrá 3 filas y 4 columnas. El número de elementos en una matriz se puede encontrar multiplicando $m$ por $n$ en una calculadora común: $3 \cdot 4 = 12$.
Suma y resta de matrices
La suma y resta de matrices son operaciones en las que los elementos correspondientes de las matrices se suman o restan. Para ello, es necesario que las matrices tengan el mismo tamaño, es decir, que tengan el mismo número de filas y columnas.
Ejemplo de suma de matrices:
$$\begin{bmatrix}1 & 2 & 3 \\4 & 5 & 6\end{bmatrix}\ + \\begin{bmatrix}1 & 2 & 3 \\3 & 2 & 1\end{bmatrix} \ = \$$
$$\ = \ \begin{bmatrix}1+1 & 2+2 & 3+3 \\4+3 & 5+2 & 6+1\end{bmatrix} \ = \$$
$$\ = \ \begin{bmatrix}2 & 4 & 6 \\7 & 7 & 7\end{bmatrix}$$
2nd [ [ 1 , 2 , 3 ]
[ 4 , 5 , 6 ] ]
+ [ [ 1 , 2 , 3 ]
[ 3 , 2 , 1 ] ] =
Ejemplo de resta de matrices:
$$\begin{bmatrix}1 & 2 & 3 \\4 & 5 & 6\end{bmatrix}\ - \\begin{bmatrix}3 & 2 & 1 \\1 & 2 & 3\end{bmatrix} \ = \$$
$$\ = \ \begin{bmatrix}1-3 & 2-2 & 3-1 \\4-1 & 5-2 & 6-3\end{bmatrix} \ = \$$
$$\ = \ \begin{bmatrix}-2 & 0 & 2 \\3 & 3 & 3\end{bmatrix}$$
2nd [ [ 1 , 2 , 3 ]
[ 4 , 5 , 6 ] ]
- [ [ 3 , 2 , 1 ]
[ 1 , 2 , 3 ] ] =
Multiplicación de matrices
La multiplicación de dos matrices es una operación para calcular una nueva matriz, llamada producto de matrices. Cada elemento de esta matriz es igual a la suma de los productos de los elementos en la fila correspondiente de la primera matriz y la columna correspondiente de la segunda matriz. Para multiplicar matrices, es necesario que el número de columnas en la primera matriz sea igual al número de filas en la segunda matriz.
Ejemplo de multiplicación de matrices:
$$\begin{bmatrix}1 & 2 & 3 \\4 & 5 & 6\end{bmatrix}\ \cdot \\begin{bmatrix}7 & 8 \\9 & 10 \\11 & 12\end{bmatrix} \ = \$$
$$\ = \ \begin{bmatrix}1 \cdot 7 + 2 \cdot 9 + 3 \cdot 11 & 1 \cdot 8 + 2 \cdot 10 + 3 \cdot 12 \\4 \cdot 7 + 5 \cdot 9 + 6 \cdot 11 & 4 \cdot 8 + 5 \cdot 10 + 6 \cdot 12\end{bmatrix} \ = \$$
$$\ = \ \begin{bmatrix}58 & 64 \\139 & 154\end{bmatrix}$$
2nd [ [ 1 , 2 , 3 ]
[ 4 , 5 , 6 ] ]
2nd × 2nd [ [ 7 , 8 ]
[ 9 , 1 0 ]
[ 1 1 , 1 2 ] ] =
Determinante de una matriz
El determinante de una matriz ($det(A)$ o $|A|$) es una cantidad que caracteriza las propiedades de una matriz cuadrada.
Ejemplo de cálculo del determinante (det debe ingresarse en el campo vacío debajo de la pantalla de la calculadora, usando el teclado de su computadora):
$$|A| = \begin{vmatrix}1 & -2 & 3 \\4 & 0 & 6 \\-7 & 8 & 9\end{vmatrix} = 204$$
d e t ( 2nd [
[ 1 , - 2 , 3 ]
[ 4 , 0 , 6 ]
[ - 7 , 8 , 9 ]
] 2nd ) =
Transposición de una matriz
La transposición es una operación en la que las filas y columnas de la matriz original se intercambian, es decir, las filas se convierten en columnas y las columnas en filas. Si $A$ es la matriz original, la matriz transpuesta se denota como $A^T$. Si la matriz original $A$ tiene un tamaño $m \times n$, entonces la matriz transpuesta $A^T$ tendrá un tamaño $n \times m$.
$$A = \begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn}\end{bmatrix}$$
Para obtener la matriz transpuesta $A^T$, es necesario intercambiar las filas y columnas de la matriz original $A$. Para ello, se deben seguir los siguientes pasos.
Toma los elementos de la primera fila desde $a_{11}$ hasta $a_{1n}$ y escríbelos como la primera columna de la matriz transpuesta $A^T$:
$$A^T = \begin{bmatrix}a_{11} \\a_{12} \\\vdots \\a_{1n}\end{bmatrix}$$
Toma los elementos de la segunda fila desde $a_{21}$ hasta $a_{2n}$ y escríbelos como la segunda columna de $A^T$:
$$A^T = \begin{bmatrix}a_{11} & a_{21} \\a_{12} & a_{22} \\\vdots & \vdots \\a_{1n} & a_{2n}\end{bmatrix}$$
Repite este paso para todas las filas de la matriz $A$, hasta que se hayan escrito como columnas de $A^T$:
$$A^T = \begin{bmatrix}a_{11} & a_{21} & \dots & a_{m1} \\a_{12} & a_{22} & \dots & a_{m2} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{1n} & a_{2n} & \dots & a_{mn}\end{bmatrix}$$
De esta manera, los elementos $a^T_{ij}$ de la matriz transpuesta $A^T$ corresponden a los elementos $a_{ji}$ de la matriz original $A$.
Ejemplo de transposición de una matriz:
$$A = \begin{bmatrix}1 & 2 \\3 & 4 \\5 & 6\end{bmatrix}\ \ A^T = \begin{bmatrix}1 & 3 & 5 \\2 & 4 & 6\end{bmatrix}$$
